МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ „ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” Кафедра ВМ Розрахункова робота №1 з вищої математики на тему: «Теорія ймовірностей» Варіант № 29 Львів-2015 Варіант 29 Розрахункова робота №1 Завдання 1. Дві листоноші повинні віднести 10 листів. Скількома способами вони можуть розділити цю роботу ? Розв’язання: Усі листи є різні. Тому якщо перший листоноша візьме
листів (їх можна відібрати
способами), то решту листів забере другий. 1 випадок: Листоноші ділять роботу порівну. Тоді
і число способів:
2 випадок: Число
- довільне(
). Тоді число способів:
(За біномом Ньютона) Відповідь:
. Завдання 2. З колоди 36 карт навмання виймають одну карту. Розвинемо події:
- вийняли карту червоної масті;
- вийняли дев’ятку;
- вийняли бубнового туза. Які з даних подій є сумісні, а які - ні ? Описати події:
,
,
,
,
,
. Розв’язання: Дано події
= (вийняли карту червоної масті)
= (вийняли дев’ятку)
= (вийняли бубнового туза) Тоді
=(вийняли червону дев’ятку)
;

Тому
i
сумісні,
i
сумісні,
i
несумісні. Описую решта подій:
= (вийняли карту червоної масті)
= (взяли або червону карту або чорну дев’ятку)
Відповідь: Події
i
сумісні,
i
сумісні,
i
несумісні. Завдання 3. З повного набору доміно (28 штук) навмання виймають 7 штук. Яка ймовірність того, що серед них буде саме 2 кістки із сумою очок 6 ? Розв'язання: Усіх способів вийняти 7 кісток із 28 є
Сприятливих кісток (в яких сума очок 6) є 4, а саме (0-6, 1-5, 2-4, 3-3), тому сприятливих способів вийняти 2 кістки з сумою 6 (із 4) і решту 5 кісток з іншою сумою (із 28-4=24) є
Тому
Відповідь:
. Завдання 4. Яка ймовірність того, що сума довжин трьох навмання взятих відрізків довжини меншої 10 см буде не більше 10 см ? Розв'язання:
Позначу
- довжини трьох довільних відрізків довжини
10 см. Тоді простором елементарних подій є куб
Сприятливими є лише ті наслідки, коли
– це піраміда Міра(об’єм) куба
, об’єм піраміди
, тому геометрична ймовірність
Відповідь:
. Завдання 5. У продажу є телевізори трьох заводів: 20% телевізорів першого заводу, 40% - другого і стільки ж третього. Продукція першого заводу містить 10% телевізорів із прихованим дефектом, другого заводу - 5%, а третього - 8%. а) Яка ймовірність того, що навмання куплений телевізор добрий ? б) Нехай купили добрий телевізор. Яка ймовірність того, що він виготовлений на третьому заводі ? Розв’язання: Введу повну групу подій :
- взяли телевізор першого заводу;
- взяли телевізор другого заводу;
- взяли телевізор третього заводу; За кількістю всіх телевізорів:

Нехай подія A= телевізор з дефектом Дано
;
;
; Тоді а) за формолою ймовірності:
б) за формолою умовної ймовірності
Відповідь: виготовлений на третьому заводі :
, а)
, б)
Завдання 6. При в’їзді в нову квартиру в електромережу було включено 10 лампочок. Кожна електролампочка на протязі року перегоряє з імовірністю 1/4. Яка ймовірність того, що на протязі року перегорить не менше половини лампочок ? Розв’язання: Дано
лампочок(спроб),

- ймовірність події (перегоріти) в одній спробі. За формолою Бернуллі ймовірність рівна
подій в
спробах
. Тоді шукане :


Відповідь:
. Завдання 7. Знайти закон розподілу дискретної випадкової величини
, яка може набувати лише два значення:
з імовірністю
і
, якщо
і
,
. x x1 x2  p p1 p2   Розв’язання: Дано закон розподілу де
тому


Тоді:



Але
, тому
, тому:
- сторонній корінь. Отже буде:
;
x 2 6  p(x) 0,4 0,6   Завдання 8. Завод випускає вироби, серед яких є 6% бракованих. Яка ймовірність того, що серед 120 виробів, які поступили для перевірки, буде рівно 15 бракованих ? Розв’язання: Дано
- ймовірність браку в одній спробі,
- число спроб. Треба знайти
Обчислюю :


І застосуємо локальну теорему Муавра-Лапласа:

Відповідь:
Завдання 9. Випадкова величина
задана рядом розподілу
-0,5 0 1 2  
0,2 0,6 0,1 0,1  ...